Matemática: Sólidos Geométricos

Sólidos Geométricos

• Retas Não Coplanares

→Reversas: 2 retas que não estão contidas no mesmo plano.

→Ortogonais: 2 retas reversas cujas projeções podem ser perpendiculares.

• Retas e Planos:

→Se uma reta tem 2 pontos em um plano, então ela está contida no plano.

→reta e o plano são concorrentes quando a reta intersecta o plano em um ponto.

→reta e o plano são paralelos quando a reta não intersecta o plano.

→reta e o plano são perpendiculares se a reta e o plano tem um ponto em comum A e a reta é perpendicular a todas as retas que passam por A.

• Plano e Plano

→Planos são coincidentes quando possuem mais de uma reta em comum.

→Planos são secantes quando a intersecção entre eles é 1 única reta.

→Planos são paralelos quando a intersecção entre eles é vazia.

→Planos são perpendiculares se existe uma reta contida no plano a que é perpendicular ao plano b.

• Projeções Ortogonais de um plano sobre um ponto: intersecção do plano com uma reta perpendicular ao plano que passa por um ponto.

• Soma dos ângulos internos de um polígono: (Si) = 180・(n - 2).

• Ponto e reta/plano: distância entre eles é igual a distância entre a projeção do ponto na reta/no plano e o ponto. Sua projeção é perpendicular ao plano.

• Distância entre 2 retas/planos: é a distância de um ponto qualquer da reta/plano a com a projeção do mesmo ponto na reta/plano b.

• Grau: 1/360 da circunferência.

• Radiano: razão entre o comprimento de um arco e seu raio.

→π rad = 180º

Poliedros

• Poliedros: são sólidos geométricos limitados por um nº finito de polígonos planos

→Convexo: É possível ligar quaisquer pontos dele com um segmento de reta, de modo que os segmentos fiquem contidos no poliedro

→Côncavo: Nem todos os segmentos ficam contidos no poliedro

• Poliedros de Platão: todas as faces devem ter a mesma quantidade de arestas.

→todas as vértices devem ser formadas pela mesma quantidade de arestas.

→Tetraedro; Hexaedro; Octaedro; Dodecaedro e Icosaedro.

• Relação de Euler: Vértices + Faces = Arestas + 2

Prismas

• Reunião de todos os segmentos de reta paralelos a uma reta r, de modo que cada segmento tenha uma extremidade pertencente ao polígono delimitado em um plano e a outra pertencente a um plano paralelo (faces paralelas e planas).

• Elementos: Base; Faces Laterais; Arestas; Altura; Diagonais do Prisma.

• Tipos de prisma:

→Prisma Reto: arestas das faces laterais são perpendiculares às arestas da base

→Prisma Oblíquo: arestas das faces laterais e da base não são perpendiculares.

• Prisma Triangular (base é um triângulo). Prisma quadrangular (base é um quadrilátero convexo). Prisma pentagonal (base é um pentágono convexo)...

• Prisma Regular: só se o prisma for reto e suas bases forem polígonos regulares (todos os lados e ângulos possuem as mesmas medidas).

• Área total = 2.(Área da base) + Área lateral

→Área da. Base = Área do polígono da base.

→Área lateral = soma das áreas das faces laterais.

• Volume é proporcional a área da base e a altura do polígono:

→Volume = (Área da base)・(altura)

• Cubos: Paralelepípedo reto cujas faces são quadrados e as 6 faces são congruentes.

→d = diagonal.

→A = área.

→a = aresta do cubo (lado).

Pirâmides

• Poliedro convexo definido pela reunião de um polígono convexo contido em um plano e todos os segmentos que ligam um vértice.

• Possui um polígono na base

• Pirâmide Reta: projeção ortogonal coincide com o centro geométrico do polígono da base.

• Pirâmide Oblíqua: projeção ortogonal NÃO coincide com o centro geométrico do polígono da base.

• Pirâmide Regular: pirâmide reta cuja base é um polígono regular.

• Apótema da base (Ab): liga o centro da base da pirâmide ao ponto médio de uma das arestas

• Apótema da Pirâmide (Al): altura da face lateral ligada ao ponto médio das arestas da base

• Altura (h): distância do vértice ao centro geométrico da base.

• Tronco da Pirâmide:

→k = constante

Tronco de Pirâmide. Fonte: Mundo Educação

Cilindros

• Reto: geratriz perpendicular à base.

• Oblíquo: geratriz não perpendicular à base.

• Geratriz: menor distância entre as bases sobre a superfície lateral.

• Base é um círculo de área =

• Área Lateral = 2.π..r.h

• Área total = 2.π.r・(h + r)

• Volume total =

Cones

• Obtido pela união de todos os segmentos que ligam o ponto V a 1 ponto do círculo

• Geratriz: qualquer segmento que liga a vértice à circunferência da base.

• Cone reto: eixo perpendicular à sua base. geratrizes são todas congruentes.

• Cone Oblíquo: Eixo não é perpendicular à base.

• Cone Equilátero: geratriz é 2 vezes o raio (g = 2r).

• Área = Área da base + Área lateral= π.r.(r + g)

• Volume:

• Tronco de Cone:

Esferas

• Sólido de revolução gerado por meio da rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e.

• Sendo R o raio da esfera e r o raio da secção plana e d a distância entre o centro da esfera e o plano.

• Fuso esférico:

→α = ângulo

Inscrição e Circunscrição

• Sólidos Inscritos: os sólidos estão contidos dentro da circunferência.

• Sólidos Circunscritos: a circunferência está contida dentro dos sólidos.

Fonte: CERICATO, Lauri. et al. Revisão Anual de Matemática - Módulo 2. São Paulo, SP: Editora FTD, 2018.

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