Geometria
• Ponto: Não tem qualquer dimensão e indica uma localização específica no espaço ou no plano; Indicado com uma letra maiúscula.
• Reta: Conjunto infinito de pontos
→comprimento infinito e não tem largura
→nomeada com letras minúsculas (ex: r) ou com 2 maiúsculas (ex: AB).
→Tipos de retas:
- Paralelas: Retas coplanares que não possuem nenhum ponto em comum.
- Concorrentes: Possuem um único ponto em comum.
- Perpendiculares: Retas concorrentes que se cruzam formando 90 graus.
- Reversas: Não pertencem ao mesmo plano e não têm ponto em comum.
• Plano: Região plana que se estende infinitamente e é capaz de conter infinitos pontos e retas.
• Semirreta: Fração da reta que tem início em um ponto e se prolonga indefinidamente em um de seus sentidos.
• Segmento de Reta: Fração de reta com início e fim definidos por pontos; pode ser medida; Nome indicado por AB.
• Colineares: pontos que pertencem à mesma reta
• Coplanares: pontos que pertencem ao mesmo plano.
• Reversas: não coplanares.
• Ângulos: Abertura entre duas semirretas de mesma origem; medido por graus.
→Reto: mede 90º
→Agudo: mede menos que 90º
→Obtuso: mede mais que 90º e menos que 180º
→Raso: mede 180º
→Nulo: Ângulo de 0º
• Ângulos Opostos Pelo Vértice: Apresentados por 2 retas concorrentes
x e z são opostos. x=z; k=y; k+z=x+y=180º; k+x+y+z=360º
• Ângulos Complementares: Ângulos que, juntos, somam 90º.
• Ângulos Suplementares: Ângulos que, juntos, somam 180º.
• Ângulos Replementares: Ângulos que, juntos, somam 360º.
Transformações Geométricas
• Isometrias: Técnicas para composição ou transformação de figuras planas ou espaciais, nas quais as formas e tamanhos são preservados. A figura resultante é congruente à primeira (mesmas medidas lineares e dos ângulos internos).
→Simetria Reflexão: Pode ocorrer por eixo de simetria ou por ponto de reflexão.
- Eixo de Simetria: figuras/partes simétricas são congruentes e opostas em relação a ele; é a mediatriz que une os pontos correspondentes.
- Ponto de Reflexão: Ponto médio dos segmentos que unem pontos correspondentes; similar ao eixo, porém sem mediatriz.
→Simetria por translação: só deslocamos a figura e mudamos sua posição.
→Por Rotação: A figura é rotacionada em torno do ponto: centro de simetria.
• Homotetia: Técnica para transformação de figuras que gera uma ampliação ou uma redução proporcional.
→Homotetia Direta: Gera uma figura com mesma forma e posição da original.
→Homotetia Inversa: Figura obtida fica rotacionada em 180 graus em relação a primeira, logo, fica invertida.
Paralelas Interceptadas
• Ângulos Correspondentes: Congruentes; 1 e 5; 2 e 6; 3 e 7; 4 e 8
• Ângulos Alternos Internos: Congruentes; 4 e 6; 3 e 6
• Ângulos Alternos Externos: Congruentes; 1 e 7; 2 e 8.
• Ângulos Colaterais Internos: Suplementares; 4 e 5; 3 e 6
• Ângulos Colaterais Externos: Suplementares; 1 e 8; 2 e 7
Triângulos
• Triângulo: União de 3 segmento consecutivos e não colineares
• Sempre a soma dos ângulos internos de um triângulo vai ser igual a 180º.
• Cada lado é menor que a soma das medidas dos outros dois lados.
• maior lado está oposto ao maior ângulo; o menor lado oposto ao menor ângulo.
• Classificação de Triângulos quanto a medida do lado:
→Equilátero: Possui três lados e três ângulos congruentes.
→Isósceles: ângulos adjacentes à base são congruentes.
→Escaleno: Possui três lados e três ângulos com medidas diferentes.
• Classificação de Triângulos quanto a medida dos ângulos:
→Acutângulo: possui três ângulos agudos (menor que 90º).
→Obtusângulo: possui um ângulo obtuso (maior que 90º)
→Retângulo: tem um ângulo reto.
- maior lado=hipotenusa.
- outros lados = catetos.
• Elementos Notáveis no Triângulo:
→Bissetriz: A semirreta que parte do vértice do ângulo e o divide em 2 ângulos menores de mesma medida.
- Incentro: ponto de encontro das 3 bissetrizes; corresponde ao centro da circunferência inscrita (interna) ao triângulo; equidistante ao seus lados (pontos mais próximos deles).
- Bissetriz divide o lado oposto ao ângulo que ele bissecta em segmentos proporcionais aos lados que formam o ângulo em questão.
→Mediana: Segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto a esse vértice.
- Baricentro: ponto de encontro das 3 medianas; a distância do vértice
ao baricentro é o dobro da distância do baricentro ao respectivo ponto médio.
→Altura: Segmento de reta cuja extremidade está no vértice do triângulo; é perpendicular ao lado oposto a esse vértice ou ao seu prolongamento.
- Ortocentro: ponto de encontro das 3 alturas; não necessariamente interno ao triângulo.
→Mediatriz: reta perpendicular a um segmento, passando pelo seu ponto médio.
- Ortocentro: ponto de encontro das 3 mediatrizes. Corresponde ao centro da circunferência circunscrita (externa) ao triângulo.
• Teorema de Tales: Se um feixe de retas paralelas for cortado por duas ou mais transversais, os segmentos correspondentes formados por essas transversais sobre as retas paralelas serão proporcionais. AB/DE=BC/EF=AC/DF
• Semelhança de Figuras: Figuras semelhantes têm o mesmo formato, medidas e ângulos congruentes, mas tamanhos diferentes.
→Toda paralela determina uma figura semelhante à original, mas menor
• Teorema de Pitágoras:
Seno, Cosseno e Tangente
• sen (α + ß) = sen α . cos ß + sen ß . cos α
• sen (α - ß) = sen α . cos ß - sen ß . cos α
• cos (α + ß) = cos α . cos ß - sen a . sen ß
• cos (α - ß) = cos α . cos ß + sen a . sen ß
Polígonos
• Linha Poligonal: união de segmentos de reta (lados) consecutivos e não colineares, isto é, à união de segmentos que não pertencem à mesma reta.
• 2 lados consecutivos possuem apenas 1 vértice em comum.
• 2 lados não consecutivos não possuem vértices em comum.
• Se a linha poligonal é fechada, recebe o nome de polígono.
• Polígono Convexo: Dados quaisquer ângulos internos do polígono, o segmento de reta formado por eles deve estar inteiramente em seu interior;
→todos os ângulos internos do polígono devem ser menores que 180º.
• Polígono Côncavo: Não convexo.
• Nomeado de acordo com nº de lados: triângulo, quadrilátero, pentágono, hexágono, heptágono, octógono, eneágono, decágono, undecágono, dodecágono, pentadecágono (15 lados), icoságono (20 lados)…
• Soma dos Ângulos Internos (Si): Si = (n - 2)・180
→n = nº de lados
• Diagonais (d):
• Polígonos Regulares: Todos os seus lados e seus ângulos são congruentes. É equilátero e equiângulo.
→Ângulo Interno =
→Ângulo Externo = 360/n
→Se n (quantidade de lados) for par, então n/2 diagonais passam pelo centro do polígono.
→Se n for ímpar, então nenhuma diagonal passa pelo centro do polígono.
Inscrição e Circunscrição
• Um polígono está inscrito numa circunferência se todos os seus vértices forem tangentes a essa circunferência.
→Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência
• Um polígono está circunscrito numa circunferência se todos os seus lados forem pontos dessa circunferência.
→Todo polígono regular pode ser circunscrito em uma circunferência
• O centro da circunferência inscrita e o centro da circunferência circunscrita são coincidentes com o centro do polígono regular.
• Apótema: Liga o centro do polígono ao ponto médio de um dos seus lados, formando um ângulo reto.
• Ângulo central: ângulo formado por dois segmentos que ligam o centro do polígono a dois vértices consecutivos.
→Em um polígono regular, sua medida é 360∕n.
Áreas
• Área do retângulo: A = b.h
• Área do paralelogramo: A = b.h
Figuras Circulares
• Circunferência: conjunto de pontos do plano, equidistantes de determinado ponto
→Corda: segmento de reta que liga 2 pontos distintos de uma circunferência
→Diâmetro: Maior corda de uma circunferência, que passa pelo centro dela.
→Arco: Fração da circunferência, limitada por 2 de seus pontos.
• Círculo: união de uma circunferência com a região do plano limitado por ela
→Setor Circular: fração do círculo determinada por 2 raios e pelo arco. α ⁄360.
→Segmento Circular: corda menor que o diâmetro (não contém o centro).
• Posições relativas entre circunferências:
→Externas: circunferências não tem ponto em comum e não compartilham a mesma região do plano
→Internas: circunferências não tem pontos em comum, mas uma está contida na região do plano determinada pela outra.
→Secantes: se intersectam em 2 pontos, compartilhando 1 região do plano.
→Tangentes Externas: 1 único ponto em comum (ponto de tangência), e não compartilham a mesma região do plano.
→Tangentes Internas: 1 único ponto em comum (ponto de tangência), e uma está contida na região do plano determinada pela outra.
• Posições relativas entre circunferência e linha:
→Externas: circunferência e reta não tem pontos em comum
→Secantes: se intersectam em 2 pontos, determinando 1 corda.
→Tangentes: tem 1 ponto em comum (ponto de tangência).
• Circunferência (C): C = 2.π.r
• Área (A):
• Área de setor circular:
→α = ângulo do setor.
Tangência
• Ponto externo que parte 2 retas tangentes à circunferência.
• Linha em que a distância do centro é igual ao raio.
Ângulos na Circunferência
Fonte: CERICATO, Lauri. et al. Revisão Anual de Matemática - Módulo 1. São Paulo, SP: Editora FTD, 2018.
CERICATO, Lauri. et al. Revisão Anual de Matemática - Módulo 2. São Paulo, SP: Editora FTD, 2018.
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