Conjuntos
• Os conjuntos, nomeados por letras maiúsculas, podem ser representados:
→Por enumeração: Citação de elementos entre chaves, separado por vírgulas.
- ex: A={1, 3, 5, 7, 9}
→Por propriedade: Descrito por uma lei que caracteriza todos os seus elementos.
ex: para o conjunto A, vê-se A={x|x é um número natural ímpar menor que 10}.
→Por diagrama de Venn: Por meio de uma linha fechada no plano e todos os os seus elementos são representados por pontos na região do plano interior dessa linha.
• Tipos de conjuntos:
→Unitário: possui apenas 1 elemento.
- ex: A={17}.
→Vazio: Não possui elementos e é representado por { } ou Ø.
→Universo (U): Possui todos os elementos necessários para a realização de um estudo.
→Finito: Os elementos podem ser contados um a um, do primeiro ao último.
- ex: A = {1, 3, 5, 7, 9}.
→Infinito: Não é possível contar seus elementos um a um.
- Ex: A = {1, 3, 5, 7, 9...}.
• Igualdade entre conjuntos: Dois ou mais conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos, independentemente da ordem.
- Ex: {1, 2} = {2, 1}.
• Relação de pertinência: entre elementos e conjuntos.
→x∈A. (elemento x pertence ao conjunto A).
→y∉A. (elemento y não pertence ao conjunto A).
• Relação de inclusão: entre conjuntos.
→Se todos os elementos de um conjunto A também pertencem ao conjunto B (A é um subconjunto de B), dizemos que A está contido em B (A ⊂ B), ou que B contém A (B ⊃ A).
→Se existir pelo menos um elemento de A que não pertença a B, dizemos que A não está contido em B (A ⊄ B), ou que B não contém A (B ⊅ A).
• Conjunto das partes {P(A)}: Conjunto formado por todos os subconjuntos possíveis do conjunto.
→n[P(A)] = 2^n.
→ex: um conjunto com 3 elementos possui n[P(A)] = 2^3 (2x2x2). Ou seja, para um conjunto de 3 elementos, temos um conjunto das partes com 8 elementos.
→Para A={0, 1, 2}→P(A) = {Ø},{0},{1},{2},{0, 1},{0, 2},{1, 2},{0, 1, 2}.
Operações entre Conjuntos
• União(A∪B):
→x∈A ou x∈B.
→A∪Ø = A.
→Se C⊂A, A∪C = A.
• Interseção(A⋂B):
→x∈A e x∈B;
→A⋂Ø = Ø.
→Se C⊂A, A⋂C=C.
• n(A∪B)= n(A) + n(B) - n(A⋂B)
• Diferença (A - B): x∈A e x∉B.
→Se C⊂A, C-A=Ø-
→A-Ø=A.
• Complementar (Cª = B -A): Deve ser elemento de B, mas não de A.
Conjuntos
• Naturais: ℕ = (0, 1, 2, 3, 4, 5,…).
→Todo número natural tem um sucessor que é um número natural (menos 0)
→Para 2 numeros a e b naturais: a+b=natural; a.b=natural; a-b=nem sempre natural.
• Inteiros: ℤ = (...,-2, -1, 0, 1, 2,...).
→ℕ ⊂ ℤ: Todo natural é um número inteiro
→ℤ*= ℤ - {0}
• Racionais: ℚ = {x|x =, com α ∈ ℤ e β ∈ ℤ*}; ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ
→0,75= ¾ = número decimal exato
• Irracionais (𝕀): Decimais infinitos não periódicos.
→ex: √2, π (3,141592...).
• Reais: ℝ = {x | x ∈ ℚ ou x ∈ 𝕀}
• Racionalização:
Plano Cartesiano
• Sistema formado por um par de eixos perpendiculares, chamados de Ox (eixo das abcissas) e Oy (eixo das ordenadas) e dividem o plano em quatro quadrantes
• Propriedades dos pares ordenados:
→Igualdade: 2 pares ordenados são iguais quando possuem abscissas e ordenadas iguais
→Simetria por Reflexão:
- Eixo das abscissas: quando 2 pontos têm a mesma abscissa e ordenadas opostas.
- Eixo das ordenadas: quando dois pontos têm a mesma ordenada e abscissas opostas
- Bissetriz dos quadrantes ímpares: quando 2 pontos têm abscissas e ordenadas trocadas
- Bissetriz dos quadrantes pares: 2 pontos têm abscissas e ordenadas trocadas e de sinais opostos.
• Produto Cartesiano (A x B): Dado por todos os pontos (x, y) possíveis, com x pertencente ao conjunto A e y pertencente ao conjunto B.
→A x B ≠ B x A.
→ A x B = B x A, somente se A = B.
→ A2 = A x A.
→A x Ø = Ø.
→n(A x B) = n(A). n(B), Sendo n(X) o número de elementos do conjunto finito X.
→R = {(x, y) ∈ A x B | “lei de associação”}.
→Domínio: todos os elementos x contidos em (x, y).
→Imagem: todos os elementos y contidos em (x, y).
Definição de Função
• A em B é uma função f de A em B quando cada elemento do conjunto de partida A se relaciona, por meio de f, com 1 e apenas 1, elemento do conjunto de chegada B.
• 2 conjuntos A (conjunto domínio) e B (conjunto contradomínio) não vazios.
→Lei de sentença: y = f(x), que associa todo X ∈ A a um único y ∈ B, tal que (x, y) ∈ f.
• Função sobrejetora: conjunto imagem é igual ao contradomínio. Não sobra nenhum elemento de B sem estar ligado a um elemento de A.
• Função injetora: 1 elemento de A está relacionado a 1 único elemento de B.
• Função bijetora: é ao mesmo tempo sobrejetora e injetora.
• Função Par: quando seu gráfico possui simetria em relação ao eixo vertical.
• Função Ímpar: seu gráfico possui simetria em relação à origem.
Função Inversa
• f(a) = b, com a função inversa g(b) = a
• ex: y = 1800+60x → y = 1800+60x → invertendo → x = 1800+60y → 60y = x-1800 → y = (x-1800)/60.
Equação Polinomial de 1º Grau
• ax + b = 0
• Raíz = valor pertencente ao conjunto Universo (sem restrições) que, quando substituído na incógnita, torna a equação uma sentença fechada verdadeira; 1 raiz
• Solução: todas as raízes de uma equação.
• Sistema de Equações do 1º grau:
→Comparação: y = y, logo, 5x - 10 = 7x + 16→2x = -26→x = -13.
→Adição ou Subtração: y - y = 5x - 10 - 7x - 16→0 = -2x -26→x = -13.
→Substituição: isolar uma incógnita para substituí-la na outra equação.
Função Polinomial de 1º Grau {f(x) = ax + b}
• Função linear: Se b = 0, então f(x) = ax.
• Função identidade: Se b = 0 e a = 1, então f(x) = x.
• Função afim: Se b ≠ 0, então f(x) = ax + b.
• a≠0, senão, f(x) = b, e seria uma função constante, não uma função polinomial.
• Zero da Função: valor de x que anula f(x), ou seja, em que f(x) = 0.
→ -b/a
• Se a > 0, função é crescente; Se a < 0, função é decrescente.
• b = coeficiente linear: indica o lugar em que a reta intersecta o eixo das ordenadas.
Inequação de 1º Grau
• 4x - 7 > 13, logo 4x > 20 e x > 5.
• Sistemas são feitos a partir da intercessão de inequações.
• Na imagem: S = {x ∈ R | -⅓ < x < ⅘}.
Equação Polinomial de 2º Grau
• ax^2 + bx + c = 0; resolvido por:
• Δ = equação na raíz (b^2 - 4ac).
→Se Δ > 0, a equação possui 2 raízes reais distintas.
→Se Δ = 0, a equação possui 2 raízes reais iguais.
→Se Δ < 0, a equação não possui raízes reais.
Função Polinomial de 2º Grau {f(x) = ax^2 + bx + c}
• Zeros da Função:
→Se Δ > 0, f(x) possui 2 zeros distintas, que passam pela abscissa em 2 pontos.
→Se Δ = 0, f(x) possui 2 zeros iguais, devendo tangenciar o eixo das abcissas.
→Se Δ < 0, f(x) não possui zeros, não passando pelo eixo x.
• Gráfico: parábola
→Se a > 0, a parábola tem concavidade para cima (U)
→Se a < 0, a parábola tem concavidade para baixo (∩)
• Maior Ponto X da Parábola: -b/2a.
• Maior ponto Y da parábola: -Δ/4a
→Não admite valores menores que Vy, se tiver concavidade para cima e não assume valores maiores que Vy se tiver concavidade para baixo.
Inequação de 2º Grau
• Se a > 0, a parábola tem concavidade para cima (∪)
• Se a < 0, a parábola tem concavidade para baixo (⋂)
• Se Δ > 0, f(x) possui 2 zeros distintas, que passam pela abscissa em 2 pontos.
• Se Δ = 0, f(x) possui 2 zeros iguais, devendo tangenciar o eixo das abcissas.
• Se Δ < 0, f(x) não possui zeros, não passando pelo eixo x.
• Na parábola, a parte acima do eixo x é positiva e a parte abaixo é negativa.
Fonte: CERICATO, Lauri. et al. Revisão Anual de Matemática - Módulo 1. São Paulo, SP: Editora FTD, 2018.
Comments